函数的单调性是函数在某一定义域内变化的趋势，在后续函数求最值中有广泛应用。会根据函数单调性定义证明函数的单调性。
一、增函数、减函数的定义
知识点解析：
x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈I;
(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1<x2.
二、单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
自变量的大小与函数值的大小关系:
(1)若f(x)在区间I上单调递增,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2),x1>x2⇔f(x1)>f(x2).
(2)若f(x)在区间I上单调递减,则x1<x2⇔f(x1)>f(x2),x1>x2⇔f(x1)<f(x2).
即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化.
单调性的等价结论
不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“∪”连接.
如y=1/x 在区间(-∞,0)和(0,+∞)单调递减.
判断函数的单调性
1.利用图象判断函数的单调性
图象法判断函数单调性的注意点
图象法判断函数的单调性主要用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象,从而进行单调性的判断.
2.利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路
当函数解析式通过变换、转化之后,是由几个基本函数的解析式构成的,则可分析这几个基本函数的单调性,看是否符合单调函数运算性质的规律,若符合,可直接得出结论,否则,不能用这种方法判断函数的单调性.此外,研究函数的单调性时,一定要坚持“定义域优先”的原则.
利用定义证明函数的单调性
1.利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
2.作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化
函数单调性的应用
1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性比较函数值大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内.
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
3.由分段函数单调性求参数范围时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面是考虑端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可.
复合函数单调性的判断
若一个函数是由多个基本函数复合而成的,则此复合函数的单调性由基本函数中减函数的个数决定.
若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;
若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数.
对于复合函数y=f(g(x)),把函数y=f(g(x))通过中间变量t分解为两个函数:外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x),内层函数的值域是外层函数定义域的子集.要先确定复合函数的定义域.
